この図から、抵抗係数（ψ）とレイノルズ数（R)の関係は、次のように表すことが
できる。
ψR＝3π ・・・・・・・・・（式2） 【ストークスの法則の範囲】
ψ＝π/16 ・・・・・・・・・（式3） 【ニュートンの法則の範囲】
水の中を自由落下する球に働く抵抗力（F)は、次のように表すことができる。
F＝ψρｄ2ｖ2・・・・・・・・・・（式４）
ここで、F：球に働く抵抗力（ｇ・cm/sec2）
ψ:抵抗係数
ρ：流体の密度（ｇ・sec2/cm4）
d：球の直径(cm)
v：速度（cm/sec）
以上の条件を元に、水中を落下する球の運動方程式は、次のように考えることがで
きる。
質量×加速度＝球の重さ-球の受ける浮力-球に働く抵抗力
πd3δ/6g・dv/dt＝πd3δ/6-πd3δ0/6-ψρｄ2ｖ2・・・・・（式5)
ここで、δ0：流体の比重（g/cm3）
（式5）を変形すると
dv/dt＝ｇ（δ-δ0）/δ-6ψδ0ｖ2/πdδ・・・・・（式6）
静止状態から落下しはじめる初期の段階では、ｖ≒0 であり、（式6）は次のよう
に、近似でき、加速度は、流体と鉱物の比重の差にのみ関係する。
dv/dt＝ｇ（δ-δ0）/δ・・・・・・・・（式7）
『 比重の大きなものほど、加速度が大きく、早く落下する 』
落下が進行すると、速度が大きくなり、抵抗も大きくなり、一定の速度（dv/dt=0）
になり、球に働く重力と（浮力＋抵抗力）が釣り合う。
（２）干渉落下
直径数センチの小石から数ミクロンの泥がパンニング皿の中で、”芋の子を洗う”
状態で水とかき混ぜられる実際のパンニングには、”自由落下”のような単純な
モデルは適用できない。
懸濁液の粘度は、アインシュタインにより、次式で示される。
ηs＝η(1+2.5γ）・・・・・・・・・・（式8）
ここで、ηs：懸濁液の粘性係数
η：懸濁媒（通常水）の粘性係数
γ：懸濁液の単位容積中における懸濁質の容積
一方、懸濁液の比重（δs）は、懸濁媒が水で、懸濁質の比重が（δp）で、懸濁液の
単位容積中における懸濁質の容積が（γ）であれば、次の式で与えられる。
δs＝1-γ-γ/δp・・・・・・・・・・・（式9）
『 粘土等が混じっている懸濁液では、粘度と比重が大きくなり、パンニングには
不利な条件になる 』
鉱物の粒が、互いに影響を与えつつ落下する場合を選鉱では、『干渉落下の状態』と
言い、そのときの落下速度は次の式であらわすことができる。
vn=K｛d（δ-δs）/δs｝1/2・・・・・・・（式10）【ニュートンの法則の範囲】
vs=（δ-δs）d2/18ηs｝1/2・・・・・・・（式11）【ストークスの法則の範囲】
比重の異なる2種の鉱物の粒子で、等しい落下速度を有する粒子を等速落下粒（Equal
falling Particle)と言い、その大きさの比を等速落下比（Equal falling ratio)と
言い、比重選鉱理論の基礎となる。
(a)、(b) 2種の鉱物について、その直径を(da）、(db)、比重を（δa）（δb）速
度を（ｖa）、(vb)として、それぞれの場合について、等速落下比を求めれば下表のとお
りである。
| 状態 | 範囲 | 速度 | 等速落下比 | 備 考 |
自由落下 | ニュートンの法則 |
va=51{da(δa-δ0）/δ0}1/2
vb=51{db(δb-δ0）/δ0}1/2 |
va=vbから
da/db=(δb-δ0）/(δa-δ0）
=2.45 | 比重
方鉛鉱：7.5
石英：2.65
での例 |
ストークスの法則 |
va=(δa-δ0)da2/18η
vb=(δb-δ0)db2/18η |
va=vbから
da/db=｛(δb−δ0)/（δa-δ0）｝1/2
=1.57 |
干渉落下 | ニュートンの法則 |
va=K{da(δa-δ0）/δ0}1/2
vb=K{db(δb-δs）/δs}2 |
va=vbから
da/db=(δb-δs）/(δa-δs）
δs=1.5とすれば
=5.21 |
ストークスの法則 |
va=(δa-δ0)da2/18η
vb=(δb-δ0)db2/18η |
va=vbから
da/db=｛(δb−δs)/（δa-δs）｝1/2
δs=1.5とすれば
=2.28 |
等速落下比の大小を選別の難易を表す尺度とみなすことができる。
（ 小さいほど、選別が難しい ）
3.4 パンニング理論の活用
以上のパンニング理論から得られた効果的な選鉱法とそれらの活用方法を下表にまと
めてみた。
| No | 理 論 | フィールドでの活用 | 備 考 |
1 | 選別されるものの比重差が
大きいほど選別は容易 |
| |
2 | 干渉落下状態の方が
自由落下の場合より
選別が有効 |
ほとんど目的鉱物だけに
なってからのパンニングは
慎重に
| 私は、自宅でジックリ
”精密パンニング”
を実施 |
3 |
ストークスの法則が適用
される場合よりニュートンの
法則が適用される場合の方が
等速落下比が大きく選別が容易
| @レイノルズ数が大きい
乱流が生じるような
複雑なパンニング皿の操作
A土砂が粘土を含む場合
水の粘度、比重が大きく
なるので、粘土を洗い流し
てからパンニング | |
4. 採集鉱物
鉱 物 名
（英語名） | 組成 | 説 明 | 写 真 | 備 考 |
鋼玉（コランダム）
（Coruudum）
（Sapphire) | Al2O3 |
青黒色〜青色〜白色
あるいは中心部が青で
周辺が白の累帯構造を
なし、半透明、六角薄板状
結晶として産する。
写真の標本のように、
中心部から６つの角に
向かって放射状に光芒を
放つ、”スターサファイア”
も採集できる。
|  |
古くは、「青玉」と
呼ばれていた |
5． おわりに
（１） ここで紹介したパンニング理論は、鉱物を”球”とみなしている。トパーズや苗木
石をはじめとする「希元素鉱物」は、”球”として取り扱っても問題ないことをフィ
ールドで確認している。
しかし、六角板状のサファイアや競技会用の”葉片状砂金”は、私が”波乗り効果”
と名づけた現象のために水に浮いてしまい、理論がそのまま適用できないことが明ら
かになった。
サファイアのパンニング法は、『 秘中の秘 』であるが、同行する方には伝授し
たいと考えている。
（２） 兵庫県の石友・Nさん夫妻と訪れ、Nさんの奥さんが、１cmを超える真っ青、宝石級の
六角短柱状結晶がいくつか母岩についた素晴らしい標本を手にした。
奥さんが『 ○○博物館にあったものより綺麗 』 、という言葉通り、まさに”博物館級”の
ものであった。
母岩付きサファイア【採集：Nさんの奥さん】